Про одну нелокальну задачу для диференціально-операторних рівнянь першого порядку

Анотація

Різні функціональні простори (наприклад, соболєвські, аналітичних функцій, нескінченно диференційовних та розподілів Шварца) можна трактувати як позитивні та негативні відносно $L_2$, побудовані за функціями від оператора диференціювання або множення на незалежну змінну, або як проективні чи індуктивні границі таких просторів. М.Л. Горбачук та В.І. Горбачук розвинули теорію просторів основних та узагальнених елементів, які будуються за функціями від довільного самоспряженого оператора.

У цій роботі розглядаються простори узагальнених елементів, які ототожнюються з формальними рядами Фур’є і будуються за невід’ємним самоспряженим оператором у гільбертовому просторі, спектр якого є суто дискретним. Для диференціально-операторного рівняння першого порядку ставиться нелокальна багатоточкова за часом задача у випадку, коли відповідна умова задовольняється в позитивному або негативному просторах, які побудовані за таким оператором (таку задачу можна розуміти як певне узагальнення абстрактної задачі Коші для зазначеного диференціально-операторного рівняння). Встановлюється коректна розв’язність зазначеної задачі, при цьому будується фундаментальний розв’язок, досліджується його структура та властивості. Розв’язок дається у вигляді абстрактної згортки фундаментального розв’язку з граничним елементом, за допомогою якого ставиться багатоточкова умова і який є лінійним неперервним функціоналом, заданим на просторі основних елементів, при цьому розв’язок задовольняє багатоточкову умову в негативному просторі, який є спряженим з відповідним позитивним простором елементів.