Обмеженість перетворення Гільберта на просторах Бєсова

Анотація

Перетворення Гільберта вздовж кривих має велике значення в гармонічному аналізі. Відомо, що його обмеженість на $L^p(\mathbb{R}^n)$ широко досліджувалось різними авторами в різних контекстах і автори отримували позитивні результати для деяких або всіх $p,1<p<\infty$. Теорія Літлвуда-Пелі надає альтернативні методи вивчення сингулярних інтегралів. Перетворення Гільберта взовж кривих, як класичний приклад сингулярного інтеграла, призвело до появи сучасної теорії операторів Кальдерона-Зіґмунда, які здебільшого вивчені на лебегових просторах $L^p$. У цій статті ми використовуємо теорію Літлвуда-Пелі щоб доведести, що обмеженість перетворення Гільберта вздовж кривої $\Gamma$ на просторах Бєсова $ B^{s}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ може бути отримана з його $L^p$-обмеженості, де $ s\in \mathbb{R}, p,q \in ]1,+\infty[ $, і $\Gamma(t)$ $-$ відповідна крива в $\mathbb{R}^n$. Відомо, що простори Бєсова $ B^{s}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ вкладені в простори $L^p(\mathbb{R}^n)$ для $s >0$ (тобто $B^{s}_{p,q}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^n), s>0)$. Отже, наш результат можна розглядати як продовження відомих результатів на простори Бєсова $ B^{s}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ для довільних значень $s$ в $\mathbb{R}$.