Мішана задача для сингулярного диференціального рівняння параболічного типу

Анотація

Запропоновано схему розв'язування мішаної задачі для диференціального рівняння \[ a(x)\frac{\partial T}{\partial \tau}= \frac{\partial}{\partial x} \left(c(x)\frac{\partial T}{\partial x}\right) - g(x)\, T \] з коефіцієнтами $a(x)$, $g(x)$, які є узагальненими похідними функцій обмеженої варіації, $c(x)>0$, $c^{-1}(x)$ - обмежена і вимірна функція. Крайові і початкова умови мають вигляд $$ p_{1}T(0,\tau)+p_{2}T^{[1]}_x (0,\tau)= \psi_1(\tau),\\ q_{1}T(l,\tau)+q_{2}T^{[1]}_x (l,\tau)= \psi_2(\tau), $$ $$ T(x,0)=\varphi(x), $$ де $p_1 p_2\leq 0$, $q_1 q_2\geq 0$, а через $T^{[1]}_x (x,\tau)$ позначено квазіпохідну $c(x)\frac{\partial T}{\partial x}$.  Розв'язок цієї задачі шукається методом редукції у вигляді суми двох функцій $T(x,\tau)=u(x,\tau)+v(x,\tau)$. Цей метод дає змогу звести розв'язування поставленої задачі до розв'язування двох задач: крайової квазістаціонарної задачі з початковими і крайовими  умовами для відшукання функції $u(x,\tau)$ і мішаної задачі з нульовими крайовими умовами для деякого неоднорідного рівняння з невідомою функцією $v(x,\tau)$. Перша з цих задач розв'язується з допомогою введення квазіпохідної. Для розв'язування другої задачі застосовується метод Фур'є і розвинення за власними функціями деякої крайової задачі для квазідиференціального рівняння другого порядку $\big(c(x)X'(x)\big)' -g(x)X(x)+ \omega a(x)X(x)=0$. Функція $v(x,\tau)$ подається у вигляді ряду за власними функціями цієї крайової задачі. Отримані результати можна використовувати для дослідження процесу теплопередачі в багатошаровій плиті.